חפיפת משולשים: משפט צ.צ.זגיאומטריה 471 · שיעור 11
גיאומטריה 471 · מתחילים מהיסודות
שיעור 11: חפיפת משולשים: משפט צ.צ.ז
פרק 3 · חפיפת משולשים
1משפט חפיפה צ.צ.ז – הזווית מול הצלע הגדולה
2משולשים ישרי זווית: יתר וניצב
34 תרגילים, כולל הוכחה מורכבת עם גבהים
משפט
חפיפת משולשים: צ.צ.ז
AC = DF
צלע
BC = EF , והיא הגדולה מבין השתיים (BC > AC)
צלע – הגדולה
∢A = ∢D – הזווית שמול הצלע הגדולה BC
זווית
📐 משפט חפיפה צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן ← חופפים
△ABC ≅ △DEF
צ.צ.ז
💡 מקרה חשוב: במשולשים ישרי זווית מספיק יתר + ניצב (הזווית הישרה תמיד מול היתר, הצלע הגדולה)
📐 משפט חפיפה
צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
📐 מקרה פרטי
במשולשים ישרי זווית: יתר + ניצב שווים ← חופפים (צ.צ.ז: הזווית הישרה נמצאת מול היתר, הצלע הגדולה)
תרגיל 1 · יתר וניצב + משוואה · קל
∢B = ∢E = 90 , AC = DF (יתר) , AB = DE (ניצב)
BC = 2y + 1 , EF = y + 6. מצאו את y ואת BC
BC = 2y + 1 , EF = y + 6. מצאו את y ואת BC
∢B = ∢E = 90 , AC = DF , AB = DE
נתון
△ABC ≅ △DEF
צ.צ.ז: יתר וניצב (הזווית הישרה מול היתר)
BC = EF
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
2y + 1 = y + 6
מציבים
2y − y = 6 − 1 ⟹ y = 5
מעבירים אגפים וכינוס
BC = 2 · 5 + 1 = 11 , EF = 5 + 6 = 11 ✔
מציבים y = 5
✅ פתרון סופי: y = 5 , BC = 11
📐 משפט חפיפה
צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
📐 מקרה פרטי
במשולשים ישרי זווית: יתר + ניצב שווים ← חופפים (צ.צ.ז: הזווית הישרה נמצאת מול היתר, הצלע הגדולה)
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
תרגיל 2 · צ.צ.ז · בינוני
נתון: AB = DE = 8 , AC = DF = 5 , ∢C = ∢F = 70
∢A = 3x + 2 , ∢D = 2x + 26. מצאו את x , ∢A ו־∢B
∢A = 3x + 2 , ∢D = 2x + 26. מצאו את x , ∢A ו־∢B
AB = DE = 8 , AC = DF = 5 , ∢C = ∢F
נתון
∢C נמצאת מול AB , ו־8 > 5
הזווית נמצאת מול הצלע הגדולה – אפשר צ.צ.ז
△ABC ≅ △DEF
צ.צ.ז
∢A = ∢D
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
3x + 2 = 2x + 26
מציבים
3x − 2x = 26 − 2 ⟹ x = 24
מעבירים אגפים וכינוס
∢A = 3 · 24 + 2 = 74
מציבים x = 24
∢B = 180 − 74 − 70 = 36
סכום הזוויות במשולש
✅ פתרון סופי: x = 24 , ∢A = 74 , ∢B = 36
📐 משפט חפיפה
צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 כלל
מציבים את הערך שמצאנו בביטוי
📐 כלל
מעבירים איבר לאגף השני ומחליפים לו את הסימן
a + b = c ⟹ a = c − b
📐 משפט
סכום הזוויות במשולש הוא 180 מעלות
∢A + ∢B + ∢C = 180
תרגיל 3 · יתר וניצב בשווה שוקיים · בינוני
במשולש ABC: AB = AC , ו־AD גובה לבסיס BC
הוכיחו: BD = DC (הגובה לבסיס הוא גם תיכון)
הוכיחו: BD = DC (הגובה לבסיס הוא גם תיכון)
AB = AC
נתון – אלה היתרים במשולשים ABD ו־ACD
∢ADB = ∢ADC = 90
AD גובה
AD = AD
ניצב משותף
△ABD ≅ △ACD
צ.צ.ז: יתר וניצב
BD = DC
במשולשים חופפים צלעות מתאימות שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: BD = DC
📐 הגדרה
גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט חפיפה
צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
📐 מקרה פרטי
במשולשים ישרי זווית: יתר + ניצב שווים ← חופפים (צ.צ.ז: הזווית הישרה נמצאת מול היתר, הצלע הגדולה)
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
תרגיל 4 · מורכב: גבהים שווים
במשולש ABC: BD ⊥ AC , CE ⊥ AB , ונתון BD = CE
הוכיחו: AB = AC
הוכיחו: AB = AC
מסתכלים על המשולשים ישרי הזווית BEC ו־CDB
∢BEC = ∢CDB = 90
CE ו־BD גבהים
BC = CB
יתר משותף
CE = BD
נתון (ניצב)
△BEC ≅ △CDB
צ.צ.ז: יתר וניצב
∢EBC = ∢DCB , כלומר ∢B = ∢C
במשולשים חופפים זוויות מתאימות שוות
AB = AC
במשולש ABC שתי זוויות שוות – הצלעות שמולן שוות
✅ פתרון סופי: הוכחנו: AB = AC
📐 הגדרה
גובה: אנך מקדקוד לצלע שמולו
📐 כלל
צלע משותפת / זווית משותפת שווה לעצמה
📐 משפט חפיפה
צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
📐 מקרה פרטי
במשולשים ישרי זווית: יתר + ניצב שווים ← חופפים (צ.צ.ז: הזווית הישרה נמצאת מול היתר, הצלע הגדולה)
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
📐 משפט הפוך
אם במשולש יש שתי זוויות שוות ← המשולש שווה שוקיים (הצלעות שמולן שוות)
∢B = ∢C ⟹ AB = AC
📌 מה למדנו היום
📐 משפט חפיפה
צ.צ.ז: שתי צלעות והזווית שמול הגדולה מביניהן
📐 מקרה פרטי
במשולשים ישרי זווית: יתר + ניצב שווים ← חופפים (צ.צ.ז: הזווית הישרה נמצאת מול היתר, הצלע הגדולה)
📐 כלל
במשולשים חופפים: צלעות מתאימות שוות וזוויות מתאימות שוות
💡 ב־צ.צ.ז בודקים קודם: הזווית נמצאת מול הצלע הגדולה. במשולש ישר זווית: יתר + ניצב מספיקים.
בשיעור הבא: תיכונים – נקודת המפגש ויחס 2 : 1
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא